Родился в Баппагайинском наслеге Вилюйского улуса Якутской области.
В 6 лет остался круглым сиротой; воспитывался пионерской и комсомольской организациями, жил в интернате.
В 14 лет работал в Томмоте председателем молодёжной коммунистической организации.
Окончил Якутский педагогический техникум (ныне Якутский педагогический колледж им. С.Ф. Гоголева); направлен учителем математики и физики в Родчевскую семилетнюю школу Среднеколымского района ЯАССР.
Поступил на физико-математический факультет Рязанского педагогического института; призван в Красную Армию. Секретарь комитета комсомола и политрук 20-го отдельного сапёрного батальона 99-й стрелковой дивизии, звание — старшина.
В боях под Перемышлем: дивизия отбила город у противника. Алексеев дважды ранен, попал в немецкий плен.
Бежал из плена, вышел к своим.
Осуждён военным трибуналом «за измену Родине» к 10 годам ИТЛ (Туруханский, Унженский, Енисейский лагеря).
Освобождён из заключения.
Студент физико-математического отделения Якутского педагогического института (поступил с помощью журналиста Н.А. Кондакова и директора института С.Ф. Попова).
Учитель Далырской средней школы Верхневилюйского района.
Полностью реабилитирован по обращению к Председателю ВС СССР К.Е. Ворошилову.
Учитель Бердигестяхской средней школы Горного района.
Переехал в Верхневилюйск; учитель средней школы № 1 им. Исидора Барахова.
Присвоено звание «Заслуженный учитель школы Якутской АССР».
Вместе с единомышленниками (В.С. Долгунов, А.И. Семёнов, Н.Ф. Иванов, А.А. Маччасынов) добился открытия первых специализированных физико-математических классов в Верхневилюйске.
Присвоено звание «Заслуженный учитель школы РСФСР».
Верхневилюйская средняя школа № 2 по постановлению Министерства народного просвещения СССР получила статус республиканской школы с углублённым изучением основ физики и математики (ныне Республиканский лицей-интернат им. М.А. Алексеева). Поддержку оказал первый секретарь Верхневилюйского райкома КПСС М.Е. Николаев — впоследствии первый Президент РС(Я).
Первый выпускной класс физматшколы.
Присвоено звание «Народный учитель СССР» — единственный обладатель этого звания в Якутии.
Вынужден оставить педагогическую деятельность в результате административного конфликта.
Указом Президента РС(Я) № 125 присуждена Государственная премия им. А.Е. Кулаковского «за выдающуюся подвижническую педагогическую и общественную деятельность».
Единственный обладатель звания «Народный учитель СССР» из Якутии за всю историю.
Рано осиротел (6 лет); в 14 лет руководил молодёжной организацией в Томмоте — редчайший случай.
В 1941 г. дивизия Алексеева первой перешла в контрнаступление и отбила г. Перемышль. За это ему дважды объявляли перед строем приказ о награждении орденом Красной Звезды — но ордена так и не нашли своего героя из-за хаоса отступления.
В Далырской школе (1955–1958), помимо физики и математики, преподавал немецкий и английский языки, автодело, трактороведение; вёл кружки «Мотодело», «Юный электрик», «Юный радист и конструктор», «Юный фотограф»; организовал мастерские по обработке дерева и металла.
Обладал редким педагогическим даром: был тонким психологом, индивидуально подходил к каждому ученику, нередко поддерживал воспитанников финансово из собственных средств.
Среди выпускников физматшколы — Айсен Николаев (Глава РС(Я), закончил с золотой медалью), Федот Тумусов (депутат Государственной Думы РФ, д.э.н.), Василий Васильев (проректор СВФУ, д.ф.-м.н.), Иван Шамаев (директор Республиканского лицея, д.ф.-м.н.), Георгий Яковлев (основатель алмазогранильной промышленности Якутии) и др.
Школу № 2 и её правопреемницу-гимназию окончили более 2 000 учащихся, называющих себя «учениками М.А. Алексеева».
В апреле 2016 г. имя Алексеева присвоено крупному природному алмазу весом 88,30 кт, добытому на фабрике № 14 Айхальского ГОК АК «АЛРОСА».
2017 г. объявлен Годом Алексеева в системе образования РС(Я). В его честь Саха академическим театром им. П.А. Ойунского поставлен спектакль «Учуутал» (пьеса В.Е. Васильева-Харысхала), вышел документальный фильм «Народный учитель Алексеев», в Якутске прошла Азиатская физическая олимпиада, учреждено звание «Народный учитель РС(Я)».
