Родился в с. Бестях Жиганского района Якутской АССР.
Поступил в школу в с. Баханай Жиганского района, куда семья переехала.
Семья переехала в Жиганск, где Роман продолжил обучение в средней школе. В эти годы увлекся и начал заниматься вольной борьбой.
Учился в Чурапчинской школе-интернате вольной борьбы у знаменитого тренера Д. П. Коркина.
Чемпион РСФСР среди школьников.
Чемпион Спартакиады школьников СССР. Мастер спорта СССР.
Призван в ряды Советской Армии. Служил в спортивном клубе армии № 19 Забайкальского военного округа в Чите.
Чемпион Европы. Серебряный призер чемпионата мира. Мастер спорта СССР международного класса. Включен во взрослую сборную СССР по вольной борьбе.
Бронзовый призер чемпионата мира. Победитель Кубка мира.
Победитель Спартакиады народов СССР. Победитель Кубка мира.
Чемпион XX Олимпийских игр в Мюнхене. Заслуженный мастер спорта СССР.
Чемпион СССР. Победитель Кубка мира.
Бронзовый призер чемпионата мира.
Серебряный призер Спартакиады народов СССР.
Серебряный призер XXI Олимпийских игр в Монреале. Мастер спорта ЯАССР по борьбе хапсагай.
Окончил Российский университет спорта «ГЦОЛИФК». Победитель Кубка мира.
Победитель Спартакиады народов СССР. Победитель Кубка мира.
Серебряный призер Кубка мира.
Бронзовый призер чемпионата Европы.
Тренер Спорткомитета СССР.
Заслуженный работник культуры ЯАССР.
Заслуженный тренер СССР. Старший тренер сборной команды ЯАССР и молодёжной сборной РФ по вольной борьбе.
Женился на Антонине Софроновне Осиповой.
Старший тренер РС(Я) по вольной борьбе.
Первый заместитель министра по делам молодёжи и спорта РС(Я).
Начальник Управления по вопросам спорта Постоянного представительства Якутии при Президенте РФ.
Постоянный представитель Государственного Собрания (Ил Түмэн) РС(Я) в Федеральном Собрании РФ. Депутат Государственного Собрания (Ил Түмэн) РС(Я) (фракция «Единая Россия»), член комитета по делам семьи, детства, молодежи, физической культуре и спорту.
В детстве был очень подвижным, лучшим пловцом и ныряльщиком среди сверстников.
Первыми тренерами по вольной борьбе в Жиганской школе были Николай Габышев и Василий Аммосов.
Золотая медаль в XX Олимпийских играх в Мюнхене 1972 г. стала первым олимпийским золотом в истории якутского спорта и свидетельством всемирного признания якутской школы борьбы.
Награжден орденами «Знак Почета» (1972), знаком ЦК ВЛКСМ «Спортивная доблесть» (1972), почетными грамотами Президиума Верховного Совета ЯАССР (1972, 1976), медалью «За трудовую доблесть» (1976), «Полярная звезда» (2006).
Лауреат Государственной премии РС(Я) им. Д. П. Коркина в области физической культуры и спорта (2003), лауреат спорта XX века РС(Я).
Почетный гражданин Жиганского (1990), Чурапчинского (1990), Вилюйского (2003), Кобяйского (2004) улусов и г. Якутска (1969).
Занесен в Книгу Почета ЯАССР (1972).
Имя Р. М. Дмитриева присвоено ювелирному алмазу весом 77.04 карата, добытому 2 марта 1999 г., Республиканскому училищу (колледжу) олимпийского резерва (2011), воздушному лайнеру Sukhoi Superjet 100 (RA-89012) авиакомпании «Якутия» (2013), набережной в 202 микрорайоне г. Якутска (2017).
С 1984 г. проводится Республиканский турнир среди юниоров памяти Р. М. Дмитриева, который с 2011 г. стал Всероссийским турниром, а с 2013 г. обрел международный статус и включен в официальный календарь Объединенного мира борьбы (UWW).
19 октября 2018 г. Р. М. Дмитриев включен в Зал славы UWW.
Памятник в г. Якутске установлен в сквере на Комсомольской площади.
Памятник открыт в день 45-летия завоевания золотой медали на Олимпиаде в Мюнхене – 31 августа 2017 г.
Имеет 4-х детей: от первого брака сына Александра и дочь Анну, от второго брака – сына Романа и дочь Марину.
Похоронен в г. Якутске на Маганском кладбище.
Супруга А. С. Дмитриева выпустила в 2013 г. книгу воспоминаний Романа Михайловича «Наука побеждать» (переиздан в 2024 г.), а 6 июня 2023 г. – «Мои тетради».