Родился в пос. Кононово Сухобузимского района Красноярского края. Учился в профессиональном техническом училище.
Проходил срочную службу в Военно-морском флоте в Приморском крае.
Поступил на службу в органы внутренних дел.
Назначен командиром взвода специального назначения роты патрульно-постовой службы.
Назначен заместителем командира, начальником штаба отряда милиции особого назначения при МВД Республики Саха (Якутия).
И вплоть до своей гибели был командиром отряда милиции особого назначения Министерства внутренних дел по Республике Саха (Якутия).
Дважды в год командировался на Северный Кавказ - в Чечню и Дагестан.
Погиб в селении Герменчук Шалинского района Чечни. Похоронен в г. Якутске.
7 января 2000 г. сводный отряд милиции попал в ваххабитскую засаду под селением Герменчук Чеченской Республики. Александр Рыжиков под шквальным огнем превосходящего по численности противника организовал оборону, лично эвакуировал 12 бойцов и уничтожил пулеметный расчет боевиков. Прикрывая отход группы, командир отряда получил смертельное ранение.
Указом Президента Российской Федерации от 29 мая 2000 г. № 982 за проявленные мужество и героизм, подполковнику милиции Рыжикову Александру Александровичу присвоено звание Героя Российской Федерации (посмертно).
Награды и почётные звания: Орден Мужества, медаль «За отличие в охране общественного порядка», медаль «За безупречную службу» 2-й и 3-й степени.
Указом Президента Республики Саха (Якутия) Михаила Николаева и Постановлением мэра г. Якутска Ильи Михальчука, имя Героя Российской Федерации Рыжикова А. А. присвоено средней общеобразовательной школе № 26 г. Якутска.
Именем Александра Рыжикова назван сквер в г. Якутске, там же установлен бюст Героя. Позади бюста установлен стенд, на котором высечены имена еще пятерых воинов-якутян, погибших в горячих точках России: Максима Серкина, Станислава Голомарева, Федора Авдеева, Владислава Фелькера и Семена Птицына.
Приказом МВД России № 536 от 4 июня 2002 г. навечно зачислен в списки личного состава ОМОН при МВД Республики Саха (Якутия), его имя занесено на мемориальную плиту МВД по Республике Саха (Якутия).
Министерством внутренних дел Республики Саха (Якутия) проводится первенство по военно-прикладному спорту на переходящий Кубок Героя России Рыжикова А. А.
